دانلود مقاله مجموعه‌های مرکزی و شعاع‌ها در گراف‌های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجایی
| دسته بندی | علوم پایه |
| فرمت فایل | doc |
| حجم فایل | 228 کیلو بایت |
| تعداد صفحات فایل | 45 |
مقاله مجموعه‌های مرکزی و شعاع‌ها در گراف‌های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجایی در 45 صفحه ورد قابل ویرایش
فهرست
عنوان................................................................................................................
پیش گفتار ........................................................................................................
خلاصه‌ی مطالب ..............................................................................................
1فصل اول .......................................................................................................
1-1مقدمه ........................................................................................................
1-2پیش نیازها ...............................................................................................
تعاریف .............................................................................................................
قضیه ها............................................................................................................
2فصل دوم ......................................................................................................
2-2مرکز .........................................................................................................
2-3 میانه ........................................................................................................
2-4 مجموعه های غالب ..................................................................................
منابع ..........................................................................................................................
پیش گفتار
تاریخ، خود نقطه‌ی عطف شمارگانی است که پیوسته و ناپیوسته چهار مضراب عشق را حول محور تمرکز اعداد نواخته و به اثبات حقانیت واحد، دراصول هستی پرداخته است.
امتداد جریان ثبوت حقانیت شمارگان، خواه در آن برهه از زمان که خوارزمی اش می‌سرود و چه در دیگر زمان ها که اقلیدس و فیثاغورثش تجلی بخشیدند، شاه بیت های مطلعش را با تخلص آخرش پیوند زدند تا غزل گونه ای باشد، غزل شکار، نه تجنیسش افراط بخشیدند و نه جذرش تفریط، چرا که عدد یک واحد، دو واحد عدد یک ماند وخواهد ماند.
خلاصه‌ی مطالب
برآن شدم تا با تلاش مستمر مطالبی را از نظر گرامیتان بگذرانم که بدیع باشد و قابل ارائه، امیدوارم رضایت خاطر شما خوانندگان گرامی را جلب نمایم. دراینجا خلاصه‌ای از مطالبی که مطالعه خواهید کرد آورده شده است.
دریک حلقه‌ی جابجایی و یکدار R، گراف مقسوم علیه صفر، ، گرافی است که رأس های آن مقسوم علیه های صفر غیرصفر R می باشند که درآن دو رأس مجزای xو y مجاورند هرگاه xy=0. این مقاله اثباتی براین مطلب است که اگر R نوتری باشد آن گاه شعاع ،0،1 و یا 2 می باشد و نشان داده می شود که وقتی R آریتن میباشد اجتماع مرکز با مجموعه {0} اجتماعی از ایده آل های پوچ ساز است. زمانی که مرکز گراف مشخص شده باشد می توان قطر را تعیین کرد و نشان داده می‌شود که اگر R حلقه‌ی متناهی باشد آن گاه میانه زیر مجموعه ای از مرکز آن است. زمانی که R آریتن باشد با به کاربردن عناصری از مرکز می‌توان یک مجموعه‌ی غالب از ساخت و نشان داده می شود که برای حلقه‌ی متناهی ، که F میدان متناهی است، عدد غالب مساوی با تعداد ایده آل های ماکسیمال مجزای R است. و همچنین نتایج دیگری روی ساختارهای بیان می‌شود.
واژه های کلیدی
مجموعه های مرکزی؛ حلقه‌ی جابجایی؛ مقسوم علیه صفر؛ گراف مقسوم علیه صفر
فصل اول
1-مقدمه
حلقه‌ی جابجایی و یکدار R داده شده است. گراف مقسوم علیه صفر، ، گرافی است که رأس های آن مقسوم علیه های صفر غیرصفر حلقه R می باشند، بین دو رأس مجزای x و y یال وجود دارد اگر وفقط اگر xy=0 باشد. گراف مقسوم علیه صفر حلقه‌ی R با نشان داده می شود. این تعریف از ابتدا توسط livings ston (1999) و anderson بیان شد که تعداد زیادی از ویژگی های اساسی مورد بررسی قرار گرفت. تعریف اصلی توسط Beck (1988) و Nasser (1993) و Auderson بیان شد که همه‌ی عناصر حلقه به عنوان رأس های گراف انتخاب می شدند.
و anderson et al.(2001) , De meyer and Schnieider (2002), Smit (2002) مقاله‌های دیگری درارتباط با گراف مقسوم علیه صفر از حلقه های جابجایی می‌باشند. این ساختار های گرافیکی به شکل موضوع های جبری دیگر توسط Cannon et al.(2005) and DeMeyer et al.(2002), Redmond (2002)2003,2004) تعمیم داده شده است، که در ادامه به آن می پردازیم.
درطول این پژوهش برآنیم که نتایجی را روی حلقه های یکدار و جابجایی متناهی بیابیم. این نتایج برای عمومی ترین موارد ممکن بیان می شود. هدف ارائه دادن همه‌ی نظریه های کاربردی از مرکزیت گراف و تحقیق درمورد مفاهیم تقریباً محض از گراف های مقسوم علیه صفر می باشد. ابتدا نشان داده می شود که شعاع های گراف مقسوم علیه صفر یک حلقه نوتری و جابجایی و یکدار 0، 1، 2 میباشد. این قضیه دربخش های بعدی برای تعریف خصوصیات سه مجموعه مرکزی (مرکز، میانه و مجموعه های غالب با اندازه‌ی می نیمال) درگراف های مقسوم علیه صفر از حلقه‌های جابجایی و یکدار به کاربرده می شود. و نیز ارتباط بین این مجموعه ها مورد بررسی قرار می گیرد. به عنوان پیامدی از این نتایج، ویژگی های دیگری از را بیان می کنیم که از جمله‌ی آن ها قطر و کران های روی تعداد یال های گراف میباشد.
2-پیش نیازها
بالطبع لازمه‌ی پردازش به مبحث مجموعه های مرکزی و شعاع ها در گراف های مقسوم علیه صفر حلقه های جابجایی واقف بودن به تعاریفی است که آن را باید پیش نیاز نامید:
تعریف1.2.1 پوچ ساز (annihilator) x مجموعه‌ی عناصر می باشد به طوری که xy=0 به عبارت دیگر
تعریف 2.2.1 عنصر ناصفر x درحلقه‌ی R را یک مقسوم علیه صفر (zero dirisor) گوییم هرگاه عنصر ناصفری از R مانند موجود باشد به طوری که xy=0.
Ann(x) = ????????????/
فرض کنید ؟؟؟؟؟ آن گاه ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟ چون ؟؟؟؟؟؟ یک ایده آل ؟؟ است ؟؟؟؟ را ماد می کند ؟؟؟؟ فرض میکنیم ؟؟؟؟ برای مقدار حقیقی s . حالا اگر میانه؟؟؟ مساوی با مرکز؟؟؟ باشد آ نگاه deg(w) = deg(x) پس : ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
بعد از خلاصه کردن و فاکتور گیری داریم :
؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟???????????????????
ولی ما ؟؟؟؟ در نظر گرفتیم پس به تناقض رسیدیم بنابراین تجزیه آرتین از R نباید عامل غیر میدان داشته باشد . و هم چنین این روندی برای اثبات این مطلب است که میدان ها باید دینالیته یکسان داشته باشند . بعد از شرح قضیه 4.3.2 و نتیجه 5.3.2 اکنون چند مثال را بررسی میکنیم . در مواردی که میدان ؟؟؟ یافته داریم اگر ؟؟؟؟ مرکز و میانه ؟؟؟ مجموعه ی تمام رئوس می باشند . اگر ؟؟؟؟؟؟؟ آن گاه مرکز و میانه ؟؟؟ مجموعه ؟؟؟؟؟؟؟؟؟ می باشند ( به شکل 2 ، صفحه 26 ) نگاه کنید . اگر ؟؟؟؟؟؟ مرکز ؟؟؟؟؟؟ و میانه ؟؟؟؟؟؟؟؟ می باشد . در مواردی که میدان تحویل ناپذیر باشد اگر ؟؟؟ آن گاه مرکز ؟؟؟؟ ، ؟؟؟؟؟؟ و میانه ؟؟؟؟؟ می باشد ( به شکل 1 ، صفحه 26 ) نگاه کنید . توجه کنید که دو مثال آخر نشان می دهد فقط در بعضی از موارد عناصری از میانه پوچ توان خواهند بود .
-4-2 – مجموعه های غالب و کار بردهای دیگر (Domainting sets)
تعریف 1.4.2 برای هر گراف G یک مجموعه غالب زیر مجموعه ای مانند s از v(G) (مجموعه ی رئوس گراف G ) می باشد به طوری که هر رأس گراف G در S و یا هر رأس گراف گراف G از عناصر S مجاور می باشد .
تعریف 2.4.2 برای هر گراف G اندازه ی کوچک ترین مجموعه ی غالب ممکن را عدد غلبه می نامیم .
تعریف 3.4.2یک مجموعه غالب S را همبند می نامیم هر گاه زیر گراف القایی تولید شده توسط S ( زیر گراف H از G با مجموعه ی رأس های S که دقیقا رأس هایی در H مجاورند که در G مجاورند ) همبند باشد .
تعریف 4.4.2 اندازه ی کوچک ترین مجموعه ی غالب همبند را عدد غلبه همبندی می نامیم . مجموعه های غالب و مجموعه های غالب همبند با اندازه ی می نیمال را می توان به عنوان اندازه های دیگری از مرکزیت در گراف در نظر گرفت.
قضیه 6.4.2 فرض کنید R یک حلقه ی جابجایی و یکدار آرتین باشد که حوزه صحیح نیست . اگر شعاع(R) ? حد اکثر یک باشد آ نگاه عدد غلبه (R) ؟ ، 1 است . اگر شعاع (R) ؟ ، 2 باشد آن گاه عدد غلبه (R) ؟ ؤ برابر با تعداد عوامل در تجزیه ارتین R می باشد . بویژه عدد احاطه کننده متناهی و حداقل 2 می باشد .
برهان : اگر شعاع حداکثر 1 باشد : دو حالت داریم : اگر شعاع 0 باشد تنها یک رأس داریم و عدد غلبه 1 می باشد و حکم بدیهی است . اگر شعاع 1 باشد ، و هر عضو از مرکز (R) ؟ یک مجموعه غالب تشکیل می دهد ( زیرا ماکسیمم فاصله هر رأس از مرکز 1 می باشد یعنی هر رأس مرکز با دیگر رئوس مجاور می باشد بنابراین هر رأس مرکز می تواند یک مجموعه ی غالب تشکیل دهد ) پس عدد غلبه که اندازه کوچکترین مجموعه غالب ممکن است 1 می‌شود و حکم ثابت می شود.
حال فرض کنیم شعاع (R) ؟ 2 باشد ثابت می کنیم عدد غلبه (R) ؟ با تعداد فاکتورها در تجزیه آرتین R برابر می باشد .
فرض کنیم شعاع (R) ؟ ، 2 و R= ????????????/
تجزیه ی آرتین R باشد . برای هر I=1, …, n و xi ثابت در مرکز (Ri) ؟ را در نظر می گیریم و yi را به صورت زیر تعریف می کنیم . yi= (0…..,0,xi,0,….,….,0) و برای هر j= 1,…,m ، zj را به صورت زیر در نظر می گیریم : zj = ( 0,…,0,1,0,…,0) که در ایه ی n+j ام از fj همانی می باشد . مجموعه ی غالب s به صورت : s=???????????? خواهد بود توجه کنید که همه ی عناصر مجاورند .
فرض کنید w=(????????????????) یک رأس (R) ؟ است آن گاه w با مختصات مشخص شده یک مقسوم علیه صفر از حلقه هایمربوط می باشد . اگر برای هر ؟؟؟؟؟ یک مقسوم علیه صفر باشد آن گاه w با yi مجاور است . اگر برای هر مقدار ؟؟؟؟
، bj=0 باشد آن گاه w با zj مجاور است . پس هر عضو از مجموعه رأس های (R) ؟ با عضوی از S یک مجموعه غالب میباشد.
حال فرض می کنیم شعاع (R) ؟ ، 2 است و B یک مجموعه غالب و ؟؟؟؟از آن جا که (R) ؟ هیچ رأس مجاور با همه رئوس ندارد (شعاع 2 است) ، n+m?3 در نظر می گیریم برای هر k=1 , …, n+m ، ؟؟؟؟؟؟؟؟؟ می باشد که صفر درایه ی k ام است . هر ؟؟ یک رأس گراف (R) ؟ می باشد (مقسوم علیه صفر میباشد ) برای هر k : ؟؟؟ یا ؟؟ با یک عضو از B مجاور میباشد . پس یا ؟؟؟؟ یا یک عضو ؟؟؟؟؟؟ وجود دارد که اگر ؟؟؟؟؟؟؟ آن گاه ؟؟؟؟؟؟؟ ؟؟؟ و اگر ؟؟؟؟؟؟ آن گاه ؟؟؟؟؟؟ پس B حداقل n+m عضو دارد .
یک نتیجه مستقیم از قضیه ی بالا این است که (R) ؟ ، 2 باشد آن گاه عدد غلبه با تعداد ایده آل های ماکسیمال مجزا از R مساوی می باشد ولی ممکن است زمانی که شعاع 1 است این نتیجه برقرار نباشد . برای مثال ؟؟؟؟؟؟ یک گراف ستاره است برای هر میدان F که شعاع آن 1 می باشد ولی ؟؟؟ در ایده آل ماکسیمال مجزا دارد . نتیجه ای که در ادامه آمده است ارتباط بین عدد غلبه و تعداد ایده آل های ماکزیمال را در موارد متناهی بیان می کند .
نتیجه 7.4.2 – فرض کنید R یک حلقه جابجایی و یکدار متناهی باشد که میدان نیست . فرض کنید M عدد غلبه (R) ؟ باشد . اگر (R) ؟ گراف ستاره نباشد آ ن گاه R ، M ایده ال ماکسیمالمجزا دارد . اگر (R) ؟ گراف ستاره باشد آ ن گاه R ، 2 ایده آل ماکسیمال مجزا دارد یا R با 5 حلقه موصفی و؟ ؟؟؟؟ ، ؟؟؟ ؟؟؟؟؟؟؟؟ ، ؟؟؟؟؟؟؟ ، یکریخت می باشد ( به عبارت دیگر اگر (R) ؟ یک گراف ستاره باشد : اگر R موضعی باشد آ ن گاه R ، M ایده آل ماکسیمال مجزا دارد .
برهان : اگر (R) ؟ گراف ستاره نباشد : اگر شعاع (R) ؟ 0 یا 1 باشد ان گاه R موضعی و M=1 است . اگر شعاع (R) ؟ ، 2 باشد آن گاه در قضیه قبل (6.4.2) دیدیم که تجزیه آرتین R ، M فاکتور دارد . که نتیجه می دهد R ، M ایده آل ماکسیمال مجزا دارد .